تحليل تقارب الخوارزميات العددية لحل النظم الخطية
الشريط الجانبي للمقالة
محتوى المقالة الرئيسي
الملخص
تهدف هذه الدراسة إلى تحليل أداء الخوارزميات العددية الشائعة لحل النظم الخطية، مع التركيز على تقارب هذه الخوارزميات والعوامل المؤثرة عليه. تم استعراض ومقارنة الخوارزميات المباشرة (الحذف الغاوسي وطريقة التفكيك الثلاثي) والخوارزميات التكرارية (طريقة جاكوبي جاوس-سايدل ، والتدرج المترافق).
شملت المنهجية تصميم واختبار نظم خطية بمصفوفات ذات أحجام وخصائص مختلفة، حيث تم قياس عدد التكرارات، زمن التنفيذ، ومعيار الخطأ لتقييم أداء الخوارزميات. أظهرت النتائج أن الطرق المباشرة تناسب النظم الصغيرة والمتوسطة الحجم، حيث توفر دقة عالية مع زمن تنفيذ معقول. بالمقابل، أثبتت الطرق التكرارية فعاليتها في النظم الكبيرة وقليلة الكثافة، مع تفوق طريقة التدرج المترافق في سرعة التقارب وكفاءة الأداء.
تناولت الدراسة أيضًا العوامل المؤثرة على التقارب، مثل شرط التكييف وتوزيع القيم الذاتية واختيار الحل الأولي. أكدت النتائج أن استخدام تقنيات مثل إعادة التشكيل (Preconditioning) يُحسن من تقارب الخوارزميات التكرارية بشكل ملحوظ.
تُعد هذه الدراسة مرجعًا مفيدًا لاختيار الخوارزمية المناسبة بناءً على خصائص النظام وحجمه، وتقدم توصيات عملية لتحسين الأداء العددي. كما تدعو إلى مزيد من البحث في تطوير خوارزميات جديدة واستخدام تقنيات حديثة مثل الذكاء الاصطناعي لتحسين كفاءة الحلول العددية.
التنزيلات
تفاصيل المقالة
هذا العمل مرخص بموجب Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.